円周角の性質は3つもあるの!?
こんにちは!ぺーたーだよ。
この前は、円周角の定理とはなにか??
ってことを勉強してきたよね。
今日はもう一歩ふみこんで、
円周角の性質
をまなんでいこう。
中学数学で勉強する円周角の性質は、
ぜんぶで3つ。
3つ覚えておけばいろんなとこで活躍するよ。
「できれば覚えておいてほしい」というよりは、
「絶対言えるようになってね!」っていう内容だね。
どんな性質なのか見ていこう!
中学数学で役立つ!円周角の3つの性質
中学数学で役に立つ「円周角の性質」はつぎの3つだよ。
- 同じ弧に対する円周角は等しい
- 等しい弧に対する円周角は等しい
- 半円の弧に対する円周角は90°
それぞれ順番にみていこうか。
性質1. 「同じ弧に対する円周角は等しい」
これは円周角の定理の復習。
円周角の定理に、
同じ弧を共有してる円周角はどれも等しい
っていうやつがあったよね。
これはね、円周角の問題を解く時によくでてくるから、
絶対におさえておきたい性質だね。
たとえば、つぎの円Oがいたとしよう
このとき、
角APBと角AQBは、
弧ABの円周角だよね??
さっきでてきた円周角の定理をつかうと、
角APB = 角AQB
ってことがいえるんだ。
たとえば、角APBが50°だとすると、
角AQBもおなじ50°になるわけ。
これは円周角の問題では絶対に知っておきたい性質だね。
性質2. 「等しい弧に対する円周角は等しい」
2つ目の円周角の性質は、
等しい弧の円周角は等しいよ
ってやつね。
円周角の問題でむちゃくちゃよく使うよ。
たとえば、つぎの下の円をイメージしてみて。
円周上に弧ABと弧CDがあるよね。
それぞれ円周角∠APB、∠CQDがあるけど、
2つの弧の長さが等しいとき(弧AB=CD弧)、
円周角も同じ大きさになるっていう性質だよ。
つまり、
∠APB=∠CQD
がいえるんだ。
だから、
∠APB=30°だとしたら、
∠CQDも30°になるってわけ。
この円周角の円周角の性質はちらっとでてくることがあるよ。
よく復習しておこう。
性質3. 「半円の弧に対する円周角は90°」
いよいよ最後の円周角の性質。
もし、弧が半円のやつだったら、そいつの円周角は、
90°になる
っていう性質だね。
「えっ、そうなの!?」
ってびっくりする人もいるかもしれない。
これも、知っているのと知らないのとでは
問題を考えるときに大きな違いが出てくるから
ぜひ覚えておきたいところだね!
図で表すとこんな感じだ。
たとえば、下の円Oを想像してみて。
直線ABは中心Oを通ってるから、
円の直径になってるよね。
直径ABで円を切ると半円になるから、
弧ABは半円の弧になってることがわかる。
よって、
半円の弧に対する円周角の角APBは90°になってるわけ。
えっ。なんで半円の弧に対する円周角が90°になるのかって??
って人のために、
なぜ、半円の孤に対する円周角は90°になるのか
を説明しておこう。
って言っても、これ自体はめちゃ簡単。
円周角の定理をつかえば説明できちゃうんだ。
半円の弧に対する中心角
に注目してみて。
さっきの弧ABに対する中心角をみてみると、
直線ABがつくる180°
であることがわかるね。
で、あとは円周角と中心角の関係を思い出そう。
1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
だったから、
中心角の半分の大きさが円周角になるんだ!
で、中心角の∠AOBって180°だよね?
その半分が円周角なんだから、
円周角の∠APB=90°になるんだ!
これで説明終わりだよ。
意外と簡単だったでしょ?(笑)
まとめ:円周角の性質は問題をとくために必須!!
円周角の性質はどうだったかな??
ここで出てきた性質は問題を解く上では必須。
絶対忘れないようにしてね!
この円周角の性質と同じぐらい大事なのは、
だね。こっちも忘れかけてたら復習してみてね。
じゃあ、今日はこのへんで。
またね!
ぺーたー
静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める
同じ円周上で弧の長さが二倍のとき、円周角も2倍になりますか?
>同じ円周上で弧の長さが二倍のとき、円周角も2倍になりますか?
なるね!
空間図形の展開図はどのように考えればいいのですか?
>空間図形の展開図はどのように考えればいいのですか?
立体にハサミできりこみを入れて、ぺろっと広げたところを想像するしかないね。
イメージできなかったら、立体ごとの展開図を何回もかいて覚えよう!
中3英語の関係代名詞の目的格の主語が、長い文章の作り方を教えてください!
よろしくお願いします!
>中3英語の関係代名詞の目的格の主語が、長い文章の作り方を教えてください!
よろしくお願いします!
関係代名詞は文で単語を修飾する方法だったね。
だから、まずは関係代名詞にしたい文を書いてみるとわかりやすいよ!
中3の図形の証明が苦手です
克服するにはどうしたらいいですか?
>中3の図形の証明が苦手です
克服するにはどうしたらいいですか?
証明は問題を解きまくって慣れるのと、
図形の性質などの暗記事項をどれだけ覚えているかで決まってくるね
性質2 の等しい弧に対する円周角は等しいという性質の証明はどうしたらいいですか?なぜ等しくなるのですか?