中学数学で役立つ！円周角の3つの性質

円周角の性質は3つもあるの！？

こんにちは！ぺーたーだよ。

この前は、円周角の定理とはなにか？？

ってことを勉強してきたよね。

今日はもう一歩ふみこんで、

円周角の性質

をまなんでいこう。

中学数学で勉強する円周角の性質は、

ぜんぶで3つ。

3つ覚えておけばいろんなとこで活躍するよ。

「できれば覚えておいてほしい」というよりは、

「絶対言えるようになってね！」っていう内容だね。

どんな性質なのか見ていこう！

中学数学で役立つ！円周角の3つの性質

中学数学で役に立つ「円周角の性質」はつぎの3つだよ。

• 同じ弧に対する円周角は等しい
• 等しい弧に対する円周角は等しい
• 半円の弧に対する円周角は90°

それぞれ順番にみていこうか。

性質1. 「同じ弧に対する円周角は等しい」

これは円周角の定理の復習。

円周角の定理に、

同じ弧を共有してる円周角はどれも等しい

っていうやつがあったよね。

これはね、円周角の問題を解く時によくでてくるから、

絶対におさえておきたい性質だね。

たとえば、つぎの円Oがいたとしよう

このとき、

角APBと角AQBは、

弧ABの円周角だよね？？

さっきでてきた円周角の定理をつかうと、

角APB = 角AQB

ってことがいえるんだ。

たとえば、角APBが50°だとすると、

角AQBもおなじ50°になるわけ。

これは円周角の問題では絶対に知っておきたい性質だね。

性質2. 「等しい弧に対する円周角は等しい」

2つ目の円周角の性質は、

等しい弧の円周角は等しいよ

ってやつね。

円周角の問題でむちゃくちゃよく使うよ。

たとえば、つぎの下の円をイメージしてみて。

円周上に弧ABと弧CDがあるよね。

それぞれ円周角∠APB、∠CQDがあるけど、

2つの弧の長さが等しいとき（弧AB=CD弧）、

円周角も同じ大きさになるっていう性質だよ。

つまり、

∠APB＝∠CQD

がいえるんだ。

だから、

∠APB＝30°だとしたら、

∠CQDも30°になるってわけ。

この円周角の円周角の性質はちらっとでてくることがあるよ。

よく復習しておこう。

性質3. 「半円の弧に対する円周角は90°」

いよいよ最後の円周角の性質。

もし、弧が半円のやつだったら、そいつの円周角は、

90°になる

っていう性質だね。

「えっ、そうなの！？」

ってびっくりする人もいるかもしれない。

これも、知っているのと知らないのとでは

問題を考えるときに大きな違いが出てくるから

ぜひ覚えておきたいところだね！

図で表すとこんな感じだ。

たとえば、下の円Oを想像してみて。

直線ABは中心Oを通ってるから、

円の直径になってるよね。

直径ABで円を切ると半円になるから、

弧ABは半円の弧になってることがわかる。

よって、

半円の弧に対する円周角の角APBは90°になってるわけ。

えっ。なんで半円の弧に対する円周角が90°になるのかって？？

って人のために、

なぜ、半円の孤に対する円周角は90°になるのか

を説明しておこう。

って言っても、これ自体はめちゃ簡単。

円周角の定理をつかえば説明できちゃうんだ。

半円の弧に対する中心角

に注目してみて。

さっきの弧ABに対する中心角をみてみると、

直線ABがつくる180°

であることがわかるね。

で、あとは円周角と中心角の関係を思い出そう。

1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
だったから、

中心角の半分の大きさが円周角になるんだ！

で、中心角の∠AOBって180°だよね？

その半分が円周角なんだから、

円周角の∠APB=90°になるんだ！

これで説明終わりだよ。

意外と簡単だったでしょ？（笑）

まとめ：円周角の性質は問題をとくために必須！！

円周角の性質はどうだったかな？？

ここで出てきた性質は問題を解く上では必須。

絶対忘れないようにしてね！

この円周角の性質と同じぐらい大事なのは、

円周角の定理

だね。こっちも忘れかけてたら復習してみてね。

じゃあ、今日はこのへんで。

またね！

ぺーたー

ぺーたー

静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める