三角形の角の二等分線の性質・定理の証明がわかる5ステップ

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 三角形の角の二等分線の性質の証明??

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

三角形の角の二等分線の定理の証明

に出会いました。

 


【証明問題】

以下の図で∠BAD=∠CADのとき、

AB:AC = BD:DC であることを証明しなさい。

 

角の二等分線の性質 定理 証明

 

かなちゃん

証明なんか、嫌いだ!

ゆうき先生
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何で?

かなちゃん

文章書くのむずい。。

ゆうき先生

確かに。

でも、数学の証明もやっぱり数学なんだ。

かなちゃん

へっ?

どこが?

ゆうき先生

うーん、

スタートとゴールが明確なとこかな。

例えば計算問題だと?

かなちゃん

問題を解くと、

答えにたどり着くってこと?

ゆうき先生

そう、証明も同じ。

証明すること

を見つけるのがスタートで、

証明できたらゴール!

ってこと。

かなちゃん
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道のり長そう……

ゆうき先生

ま、ってわけで。

二等分線の定理の証明のついでに、

証明にもなれちゃうおう。

この定理は知っておくと後々便利だよ。

かなちゃん

……って言われても。。

 

 

三角形の角の二等分線の性質の証明がわかる5ステップ

ゆうき先生

三角形の二等分線の定理の証明は、

  1. 補助線をひく
  2. 相似な図形をみつける
  3. 辺の比に注目する
  4. 二等辺三角形をさがす
  5. 証明をかく

の5ステップだよ。

かなちゃん

へー!

5つでいいんだね。

ゆうき先生

そうそう!

あっというまだよ!

それじゃあいくよー!

 

 


【証明問題】

以下の図で∠BAD=∠CADのとき、

AB:AC = BD:DC であることを証明しなさい。

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角の二等分線の性質 定理 証明

 

 

 

Step1. 「補助線をひこう!」

ゆうき先生

証明のために補助線をひこう!

証明の種をみつけるんだ。

かなちゃん

えっと・・・・

補助線ってなに??

ゆうき先生

問題を解くのを

助けてくれる線だよ!

かなちゃん
なるほど!

誰かが引いてくれるわけじゃないのかな……

ゆうき先生

そう!

残念ながら、

自分でひかなきゃいけないんだよね。。

かなちゃん

ひー

ゆうき先生

今回ひく補助線は2本!

まず、ADをのばしまくる。

角の二等分線の性質 定理 証明

かなちゃん

ほい!

ゆうき先生

もう一本は、

ABと平行で、

Cを通る直線をひくんだ。

この直線

ADの延長線との交点

をEとしよう。

角の二等分線の性質 定理 証明

かなちゃん

かけた!

ゆうき先生

書いた前後の変化を考えてみよう!

かなちゃん

んー……、

あっ!三角形が増えてる!

ゆうき先生

そうだね。

いいところに気づいた!

増えた三角形

元の三角形

を見比べると……?

かなちゃん

んー……、あっ!

 

 

 

Step2. 「相似な図形をみつけよう!」

ゆうき先生

相似な図形をみつけてみて!

かなちゃん

△ABDと△ECDかな??

 

角の二等分線の性質 定理 証明

 

ゆうき先生

いいね!

覚えた相似条件と照らし合わせてみよう!

かなちゃん

そ、相似条件…(遠い目)

ゆうき先生

ってなる人のために、

ちゃんと用意しといたよ!

  • 3組の辺の比がすべて等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 対応する2つの角がそれぞれ等しい
かなちゃん

さすがは先生!

生徒のこと分かってる!!

ゆうき先生

できれば3秒で覚えてほしいけど、

慣れるまで書いておぼえてね。

 

かなちゃん

えっと、この場合は……

ゆうき先生

注目ポイントは、

平行線!

かなちゃん

あっ!

錯角だ!!

ゆうき先生

そうだね。

錯角が等しいから、

  • ∠ABD=∠ECD
  • ∠BAD=∠CED

だね。

 

角の二等分線の性質 定理 証明

 

かなちゃん

ってことは、

相似条件の3つめの、

2組の角がそれぞれ等しい

を使えばいいんだ!

ゆうき先生

そう!その調子!

△ABDと△ECDが相似

ってわかったから……

 

 

Step3. 「相似比を使おう!」

かなちゃん

相似ってことは、

対応する辺の比

が一緒ってことだ!

相似な図形の性質でやったきがする!

 

ゆうき先生

そう。

つぎは相似比をつかうよ。

△ABC と△ECD

の対応する辺の比をつかうと・・・・

かなちゃん

AB : CE = BD : DC・・・(1)

だ!!

 

三角形 角の二等分線の性質 定理

 

ゆうき先生

そうそう!

 

 

 

Step4. 二等辺三角形をさがせ!

ゆうき先生

つぎは、

二等辺三角形をさがしてみて!

かなちゃん

にとうへんさんかくけい??

ゆうき先生
かなちゃん

あ、

底角が等しくなる

じゃなかったっけ!?

ゆうき先生

お、それもあるね!

じゃあその条件つかおう。

二等辺三角形みつけられるかな??

かなちゃん

あ!

∠CAE=∠CEAだから、

△ACEは二等辺三角形だ!!

ってことは、

AC = CE ・・・ (2)

になる。

 

角の二等分線の性質 定理 証明

 

ゆうき先生

お、いいねー!

(1)と(2)から何が言える??

かなちゃん

AB : EC = BD : DC・・・(1)

AC = CE ・・・ (2)

だから、、

 

あ。

AB : AC = BD : DC

ってことか!

ゆうき先生

そう!

これで証明したいことが見つけられたね!

かなちゃん

やったー!

これで……

ゆうき先生

終わらないよ。

これから証明書くからね!

かなちゃん

ひょええええええええ

 

 

Step5. 証明をかく

ゆうき先生

つぎは証明をかくよ。

いよいよね。

かなちゃん

ういっす……

ゆうき先生

手順は簡単!

  1. 補助線の説明
  2. 相似の証明
  3. 比をつかった全体の証明

って感じだよ!

書けそうなとこからで大丈夫!

 

 


【証明】

CからABに平行に引いた直線と、

ADとの交点をEとします。

△ABDと△ECDにおいて、

 

錯角が等しいので、

∠ABD=∠ECD…①

∠BAD=∠CED…②

①,②より、

対応する2つの角が等しいので、

△ABD∽△ECD

 

また、相似な図形では、

対応する辺の比が等しいので、

BD:DC=AB:CE

 

△ACEは二等辺三角形なので、

AC=CE

よって、

BD:DC=AB:AC


かなちゃん

できた!!

どう??

ゆうき先生

おー!

やるじゃーーん

かなちゃん

今までのことを書いた

って感じかも!!

ゆうき先生

いいね。

自分で見つけたことを証明に書けばいいの。

証明は準備ができれば、

難しいってわけではないんだ。

かなちゃん

証明マスターになった気がする

ゆうき先生

そう、その調子!!

挑戦してるうちに慣れてくるよ。

かなちゃん

証明にもなれたし、

相似条件も覚えられそうだし、

角の二等分線の性質もわかったし、

一石三鳥だ!!

 

 

まとめ:三角形の角の二等分線の定理の証明のポイント

ゆうき先生

おつかれさま!

三角形の角の二等分線の定理の証明は、

  1. 補助線をひく
  2. 相似な図形をみつける
  3. 相似比をつかう
  4. 二等辺三角形をさがす
  5. 証明をかく

の5ステップだったね??

かなちゃん

難しいけど、

何度も挑戦してみようかな。

ゆうき先生

そう!その意気だよ!

かなちゃん

うっす!

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