【簡単公式】正四角錐の表面積の求め方がわかる3つのステップ

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正四角錐の表面積の求め方って??

こんにちは、この記事をかいているKenだよ。鶏肉は煮るとウマいね。

 

正四角錐って、

底面が「正方形」の錐体のこと

だったよね??

正四角錐 表面積 求め方

つまり、底面が正方形で、先がとんがっている立体ってことだ。

正四角錐 表面積 求め方

 

そんな正四角錐の表面積は

(底面の正方形)+(側面の三角形)×4

で求めることができるよ^^

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正四角錐 表面積 求め方

だって、正四角錐の展開図が「正方形1つ」と「三角形4つ」で成り立っているからね^^

つまり、

「底面の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっていれば計算できるってわけさ。

えっ。どんな問題がわからないから怖すぎるだって!?

そ、そんなキミでも大丈夫。

じつは、中学数学ででてくる「正四角錐系の問題」ってだいたい次の3つのパターンになるんだ。

  1. 「正方形の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっているパターン
  2. 「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の他の辺の長さ」がわかっているパターン
  3. 「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターン

それぞれの求め方についてゆっくりみていこう。

 

 

「正方形の1辺」と「側面の三角形の高さ」がわかっている問題

いちばん簡単なパターン。中学1年生でもとける問題だね。

正四角錐 表面積 求め方 

 

「底面の1辺の長さ」と「側面の三角形の高さ」がわかっているから、

「底面の正方形」+「側面の三角形」×4

を計算すればいいんだ。

 

たとえば、底面の1辺の長さが4cm、側面の長さが6cmだとしよう。

正四角錐 表面積 求め方 正四角錐の展開図は「底面の正方形1つ」と「側面の三角形4つ」で構成されているね。

よって、正四角錐の表面積は、

( 4×4 ) + ( 4×6×0.5 ) × 4

= 64 [cm²]

になる。

正四角錐 表面積 求め方
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中1数学ではこの種類しか出題されないよ^^

しっかり押さえておこう。

 

 

「正方形の1辺」と「側面の三角形の辺の長さ」がわかっているパターン

2つ目のパターンは、

「正方形の1辺」と「側面の三角形の辺の長さ」がわかっているパターンだ。

正四角錐 表面積 求め方 公式

正四角錐の表面積の求め方って、

側面の三角形の高さ

さえわかっていれば計算できちゃう。

ってことは、「正方形の辺の長さ」と「側面の三角形の辺の長さ」から「側面の三角形の高さ」を計算しちゃえばいいってことになるね。

 

たとえば、

底面の1辺の長さが「6cm」、側面の三角形の辺の長さが「5cm」の正四角錐があったとしよう。

正四角錐 表面積 求め方

側面の三角形は二等辺三角形だから、頂点から底辺にひいた垂線は垂直二等分線になっているね。

側面の三角形の高さhは、三平方の定理をつかうと次のように計算できる。

√(5² – 3²)

= 4

正三角錐 表面積 求め方 

側面の三角形の高さがわかったらもう大丈夫。

正四角錐の表面積は、

「底面の正方形」+「側面の三角形」×4

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だったよね?? これも1つめのパターンと同じように計算してやると、

正四角錐 表面積 求め方

6×6 + (6×4×0.5) ×4

= 84[cm²]

っていう感じで、正四角錐の表面積が計算できちゃうんだ。やったね^^

 

 

「正方形の1辺」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターン

最後は「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」がわかっているパターンだよ。

正四角錐 表面積 求め方

これもさっきのパターンと同じで、

「正方形の1辺の長さ」と「正四角錐の高さ」から「側面の三角形の高さ」をだしてやれば表面積を求めることができるよ^^

 

たとえば、

底面の1辺の長さが「8cm」、高さも「8 cm」の正四角錐があったとしよう。

正四角錐 表面積 求め方 公式

このとき、

「正四角錐の高さ」と「側面の三角形の高さ」を1辺とする三角形を考えてみよう。

正四角錐 表面積 求め方

正四角錐の頂点からおろした垂線は、ちょうど底面のど真ん中に着地しているね。

だから、この三角形の底面は正方形の辺の半分の「4cm」になる。

三平方の定理をつかって、斜面の長さを求めてやると、

正四角錐 表面積 求め方  h = √(8² + 4²)

= 4√5

になる!

 

側面の三角形の長さがわかってしまえばあとは計算するだけ。

正四角錐の表面積は、

「底面の正方形」+「側面の三角形」×4

で求めることができるから、

正四角錐 表面積 求め方 公式

( 8 × 8 ) + (8×4√5 ×0.5 ) × 4

= 64 ( 1 + √5) [cm²]

となる。

おめでとう!これで正四角錐の表面積が計算できたね^_^

 

 

まとめ:正四角錐の表面積の問題は3通り

正四角錐の表面積の求め方の問題がでたら、

自分が解こうとしている問題がどのタイプか??

ということを探ってみよう。そして、

いかにして側面の三角形の高さをだすか??

ということを考えてみよう!

そんじゃねー

Ken

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6 件の質問

  • >1.5<√m<3

    不等式の端っこと端っこを二乗してmの範囲を求めてみようぜ

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