【計算公式】直方体の対角線の長さの求め方がわかる3ステップ

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直方体の対角線の長さの求め方の公式だって!?

こんにちは!ぺーたーだよ。

 

三平方の定理を使うと、

直方体の対角線の長さの公式を導けるって知ってた??

実は、対角線の長さには次の公式があるんだ。

 

直方体のそれぞれの長さを、

  • 縦:a
  • 横:b
  • 高さ: c

とすると、対角線の長さは、

√(a² + b² + c²)

になるよ。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

たとえば、

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  • 縦:3 cm
  • 横:4 cm
  • 高さ: 5 cm

の直方体があったとしよう。

 

こいつに直方体の対角線の公式を使ってやると、

対角線

= √(a² + b² + c²)

=√(3² + 4² + 5²)

= 5√2

になる。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

どう??

すぐに直方体の対角線の長さ求められたでしょ??

 

でもね、公式を使うときには、

なぜその公式が使えるのか??

を知っておくといいよ。

公式を忘れても大丈夫なようにね。

だから今日は最後に、

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公式を使わずに直方体の対角線を求めてみよう。

 

 

直方体の対角線の長さの求め方がわかる2ステップ

さっそく、公式なしで直方体の対角線の長さを出してみようか。

  • 縦:3 cm
  • 横:4 cm
  • 高さ: 5 cm

 

直方体の対角線の長さ 求め方

 

この問題では、対角線ECを求めてみよう。

 

 

Step1. 底面の対角線を引く

まず最初は、

底面の対角線を引いてみよう。

なんでそんなのひかなきゃいけないの?

って思うかもしれないけど、

その理由はあとでわかるからちょっとがまんしてね!

底面に対角線をひくとこうなるね。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

対角線ECを求めるために、

底面の対角線はEG

を引くってことね。

 

 

 Step2. 底面の対角線の長さを求める

次は、底面の対角線の長さを計算してみよう

えっ。

どうやって出すのかって??

こういうときは、

底面にできた三角形に注目してみて。

 

さっきの直方体でいうと、

△EFG

だね。

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

この三角形は上から見るとわかると思うけど、

直角三角形になってるよね。

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tyota10

 

てことは、

三平方の定理で「斜辺EGの長さ」を求めることができるんだ。

 

三平方の定理を使ってやると、

EG² = EF² + FG²

EG² = 3² + 4²

EG = 5 cm

になるね。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

 

Step3. 直方体の対角線の長さを求める!

いよいよ本題の直方体の対角線の長さを求めるよ。

まず、求めたい直方体の対角線をさっきの図に書き込んでみよう。

 

対角線を書き込んだことで、また新しい三角形ができるよね??

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

直方体の高さの辺と、底面の対角線でできる直角三角形ECGだ。

この三角形を取り出すと下みたいになるよ。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

ここで、さっき求めた底面の対角線を使うんだ。

底面の対角線EGは5㎝だったね。

こいつを先に出しておかないと、うまく式が立てられず、計算できないんだ。

だから、底面の対角線を求めておくのはとっても大事ってわけ!

 

さっきと同じように三平方の定理を使うと、斜辺 ECの長さは、

EC² = CG² + FG²

EC² = 5² + 5²

EC = 5√2 cm

になるね。

 

直方体 対角線の長さ 求め方 計算公式

 

つまり、

この直方体の対角線の長さは「5√2 cm」になるってわけ!

 

 

まとめ:底面の対角線を求めてから、直方体の対角線!

直方体の対角線の求め方はわかったかな?

  1. 底面の対角線の長さを求める
  2. 直方体の対角線の長さを求める

の2ステップでオッケー。

都合のいい直角三角形を見つけて、三平方の定理を使えれば全く問題ないね。

じゃあ、今日はここまでにしようか。

またね!お疲れさま!

ペーター

勉強好きの元塾講師。Qikeruの編集・執筆をしています。学校の勉強をわかりやすく面白くしたいという想いでサイトを始めました。

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8 個の質問と回答

  • 凄く分かりやすかったです!
    動点ってどうやれば解けますか??
    教えて下さい!

  • >凄く分かりやすかったです!
    動点ってどうやれば解けますか??
    教えて下さい!

    ありがとう!
    動点は図を描いて整理するとわかりやすくなるよ。
    点が1秒あたりに進む速さに注意して、x秒後に進む距離をxで表せばおっけー!
    詳しくは「一次関数の動点の解き方」を読んでみて

  • 成り行きは分かったのですが、
    これがなぜ
    √a²+b²+c²
    という式になるのですか?

  • >成り行きは分かったのですが、
    これがなぜ
    √a²+b²+c²
    という式になるのですか?

    直方体の一片を
    a、b、cとして実際に対角線の長さを計算してみると出るよ〜

  • 縦が5㎝、横が4㎝で対角線の長さが9㎝の直方体の高さを求めなさい
    という問題で対角線がわかってる時の直方体の高さが知りたいです

  • >縦が5㎝、横が4㎝で対角線の長さが9㎝の直方体の高さを求めなさい
    という問題で対角線がわかってる時の直方体の高さが知りたいです

    高さをxとして対角線に関する方程式を作ってみようぜ

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