素因数分解の応用問題の解き方がわかる3つのステップ

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素因数分解の応用問題の解き方を知りたい!

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。シチリアに行きたいね。

 

素因数分解の問題はたーくさんあるよ。

ほとんどの問題はただ素因数分解するだけ。

でもたまーに、

素因数分解の応用問題がでてくるよ。

たとえば、つぎのようなやつね↓↓

 

例題

60にできるだけ小さい自然数nをかけ、その積がある自然数の2乗になるようにしたい。このときのnを求めなさい。

 

 

今日はこの応用問題を3ステップで解説していくよ。

よかったら参考にしてみてね。

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素因数分解の応用問題の解き方がわかる3つのステップ

例題をいっしょにといてみよう。

 

例題

60にできるだけ小さい自然数nをかけ、その積がある自然数の2乗になるようにしたい。このときのnを求めなさい。

 

3ステップでとけちゃうよ。

  1. 素因数分解する
  2. 指数が奇数になってる素因数をみつける
  3. 指数を偶数にするためにかける数を考える

 

 

Step1. 素因数分解する

まず素因数分解してみよう。

素因数分解のやり方で分解すればいいんだ。

 

例題では、60を素因数分解してみよう。

素因数分解の解き方の鉄則は、

小さい素数から順番にわっていく

だったよね??

だから、いちばん小さい素数の2から割りはじめよう。

割り算の答えが「1」になるまで素数で割り続けてみてね。

すると、

  • 60÷2 = 30
  • 30÷2 = 15
  • 15÷3 = 5
  • 5÷5 = 1

になるはず。

 

素因数分解 応用問題

 

あとはわった素数をあつめて「×」で結んでみて。

すると、

60 = 2^2 × 3 × 5

になるね!

 

素因数分解 応用問題

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Step2. 指数が奇数の素因数をさがす!

つぎは、素因数のなかから、

指数が奇数になってるやつ

をさがそう。

 

60の素因数のうち、

  • 3
  • 5

の指数は奇数だね。

 

素因数分解 応用問題

 

これが第2ステップ!

 

 

Step3. 指数が奇数の因数を1つずつかける

最後は、

指数が奇数の素因数を1つずつかけてみよう!

それが答えになるよ。

なぜなら、すべての素因数の指数を偶数にすれば、

「○○の二乗」になるからね。

 

例題をみてみよう。

60を素因数分解すると、

60 = 2^2 × 3 × 5

になったよね??

指数が奇数になってるのは、

  • 3
  • 5

の素因数。

よって、ぜんぶの指数を偶数にするためには、

「60」に「3」と「5」をかければいいね。

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素因数分解 応用問題

 

そうすると、

2^2 × 3^2 × 5^2

になる。

こいつを2乗でくくってやると、

(2×3×5)^2

になるね!

 

素因数分解 応用問題

 

つまり、

60に自然数15をかけてやると、900になって、

そいつは30の二乗になってるんだ。

今回の例題では、

できるだけ小さい数をかける

って条件があったね。だから、

3×5、つまり、15が答えになるよ。

 

 

まとめ:素因数分解の応用問題はけっきょく素因数分解

応用問題の解き方はわかったね。

  1. 素因数分解する
  2. 指数が奇数になってる素因数をみつける
  3. 指数を偶数にするためにかける数を考える

っていう3ステップさ。

慎重にといてみよう!

そんじゃねー

Ken


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