平行線にはさまれた線分の比の2つの証明

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平行線と線分の比の証明ってどうやるの??

やあ、 Dr. リードだよ!!

 

今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。

つぎの2つの定理を証明していくんだ。

 

平行線と線分の比 証明

△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、

  1. PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC
  2. PQ//BCならば、AP:PB = AQ : QC

ところで、今日はケーキを用意したぞ。

最近よく頑張ってるみたいだし。

 

平行線と線分の比 証明

 

ごほうびだ。

 

ちょっと注目して欲しいんだけど、

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スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。

平行線と線分の比 証明

「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、

それぞれ一緒だろ?

よ~く目に焼き付けといてくれよ。

 

平行線と線分の比 証明

 

平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、

カットしたケーキをイメージしてくれよな。

 

 

3分でわかる!平行線と線分の比の2つの証明

さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。

 

 

証明1.「PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC」

平行線と線分の比の証明の1つめ。

 

平行線と線分の比 証明

△ABCの辺AB・AC上の点をそれぞれP・Qとするとき、

PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC

 

こいつはズバリ、

同位角

で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。

 

以下、証明な↓↓


△ABCと△APQにおいて、

PQ∥BCなので、

∠ABC = ∠APQ  (平行線の同位角は等しい)①
∠ACB = ∠AQP  (平行線の同位角は等しい)②

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平行線と線分の比 証明

 

①・②より、

2つの三角形の2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABC ∽ △APQ

よって、PQ∥BCならば、

AP:AB = AQ:AC = PQ:BC である。


 

2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。

 

証明2. 「PQ//BCならば、AP:PB = AQ : QC」

つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。

 

平行線と線分の比 証明

 

△ABCの辺 AB、AC上の点をそれぞれ点をP・Qとするとき、

PQ // BCならば、

AP : PB = AQ : QC

を証明していけばいいんだね。

 

まず、補助線を引くぞ。

点Pを通り辺ACに平行な直線PRを引いてみるよ。

平行線と線分の比 証明

 

以下、証明な↓↓


 

△APQと△PBRについて、

PQ∥BCなので、

∠APQ=∠PBR(平行線の同位角は等しい)①

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PR∥ACなので、

∠APQ=∠PBR(平行線の同位角は等しい)②

2つの三角形の2組の角がそれぞれ等しいので

△APQ ∽ △PBR

 

平行線と線分の比 証明

よって、AP:PB = AQ:PR・・・  ③

 

また,PQ∥BC,PR∥ACなので、

四角形PRCQは平行四辺形で、

PR = QC・・・④ (平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい)

 

平行線と線分の比 証明

 

 

③と④より、

AP:PB = AQ:PR = AQ:QC


 

やった!

平行線と線分の比の証明もできるようになったね^^

 

 

まとめ:平行線と線分の比の証明は2種類抑えておこう

平行線と線分の比の証明はどうだったかな?

定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。

2つの定理に共通してるのは、

同位角をつかって三角形の相似を証明する

ってこと。

しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。

 

今回はここまでね。

じゃ、お茶にしよう。

 

平行線と線分の比 証明

平行線と線分の比 証明

Dr.リード


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