平行線にはさまれた線分の比の2つの証明

平行線と線分の比の証明ってどうやるの？？

やあ、 Dr. リードだよ！！

今日は平行線にはさまれた線分の比の定理を証明するよ。

つぎの2つの定理を証明していくんだ。

ところで、今日はケーキを用意したぞ。

最近よく頑張ってるみたいだし。

ごほうびだ。

ちょっと注目して欲しいんだけど、

スポンジとクリームが見事な平行線をつくってるだろ。

「クリーム」と「スポンジの切り口」の長さは左側でも右側でも、

それぞれ一緒だろ？

よ～く目に焼き付けといてくれよ。

平行線と線分の比の定理を忘れそうになったときは、

カットしたケーキをイメージしてくれよな。

3分でわかる！平行線と線分の比の2つの証明

さっそく、2つの定理の証明をしていくぞ。

証明1.「PQ//BCならば、 AP:AB = AQ : AC = PQ : BC」

平行線と線分の比の証明の1つめ。

こいつはズバリ、

同位角

で2つの三角形の相似を証明をしていけばいいのさ。

以下、証明な↓↓

△ＡＢＣと△ＡＰＱにおいて、

ＰＱ∥ＢＣなので、

∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＰＱ　 （平行線の同位角は等しい）①
∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＱＰ 　（平行線の同位角は等しい）②

①・②より、

２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので、

△ＡＢＣ ∽ △ＡＰＱ

よって、ＰＱ∥ＢＣならば、

AP：AB ＝ AQ：AC ＝ PQ：BC　である。

2つの三角形の相似を証明するだけだから簡単だね。

証明2. 「PQ//BCならば、AP:PB = AQ : QC」

つぎは2つ目の平行線と線分の比の証明だ。

を証明していけばいいんだね。

まず、補助線を引くぞ。

点Ｐを通り辺ＡＣに平行な直線ＰＲを引いてみるよ。

以下、証明な↓↓

△ＡＰＱと△ＰＢＲについて、

ＰＱ∥ＢＣなので、

∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）①

ＰＲ∥ＡＣなので、

∠ＡＰＱ＝∠ＰＢＲ（平行線の同位角は等しい）②

２つの三角形の２組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＰＱ ∽ △ＰＢＲ

よって、ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ・・・  ③

また，ＰＱ∥ＢＣ，ＰＲ∥ＡＣなので、

四角形ＰＲＣＱは平行四辺形で、

ＰＲ ＝ ＱC・・・④　（平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しい）

③と④より、

ＡＰ：ＰＢ ＝ ＡＱ：ＰＲ ＝ ＡＱ：ＱＣ

やった！

平行線と線分の比の証明もできるようになったね^^

まとめ：平行線と線分の比の証明は2種類抑えておこう

平行線と線分の比の証明はどうだったかな？

定理①はすぐ思い浮かぶけど、定理②は忘れちゃいがち。

2つの定理に共通してるのは、

同位角をつかって三角形の相似を証明する

ってこと。

しっかり覚えてくれよ。ケーキだよ。ケーキ。

今回はここまでね。

じゃ、お茶にしよう。

Dr.リード

DR. リード

公立中学校理科数学講師、進学塾数学講師、自宅塾 高校数学英語化学生物指導、国立大学医学部技官という経歴を持つスーパー講師。よろしくな！