【中3数学】中点連結定理の証明がわかる3ステップ

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中点連結定理の証明ってどうやるの??

どーも、ぺーたーだよ。

 

図形と相似の単元で、

中点連結定理

を勉強していくよね。

えっ、忘れたって!?

 

中点連結定理を簡単にいってやると、

三角形の2辺の中点を通る線が、

 

中点連結定理 証明

 

底辺に平行で、

 

中点連結定理 証明

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なおかつ、

底辺の半分になってるよー

 

中点連結定理 証明

 

っていう定理なんだ。

 

けっこう便利なんだけど、

なんでそうなるの?

って思ったことはないかな?

 

思ったことがなくても、

中点連結定理を使えれば大丈夫なんだけどねw

ってことで、今日は、

なんで中点連結定理が使えるか??

を証明していくよ!

 

 

中点連結定理の証明がわかる3ステップ

さっそく中点連結定理を証明していくよ。

3ステップで証明できちゃうんだ。

  1. 相似の証明
  2. 相似比を求める
  3. 平行の証明

 

中点連結定理を証明するために、

つぎの、

△ADEと△ABC

を思い浮かべてみて。

 

中点連結定理 証明

 

DとEはそれぞれ、ABとACの中点ね。

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中点連結定理の証明のゴールは、

  • DE = 1/2 BC
  • DE//BC

を証明することだよ。

 

中点連結定理 証明

 

さっそく証明していこう!

 

 

Step1. 相似の証明

まずは△ADEと△ABCの相似の証明だ。

 

D・Eはそれぞれの中点だから、

  • AD=DB
  • AE = EC

だよね??

 

中点連結定理 証明

 

ってことは、比であらわすと、

  • AD:DB=1:1
  • AE:EC=1:1

になるはずなんだ。

 

中点連結定理 証明

 

ADとDBの比を合わせると、

AD:AB=1:2…①

 

ACの比も同じ考え方でAEとECの比を合わせると、

AE:AC=1:2…②

になるね。

 

中点連結定理 証明

 

んで、

△ADEと△ABCは角Aを共有してるよね??

ってことで、

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角DAE = 角BAC (共通)…③

だ。

 

中点連結定理 証明

 

 

①、②、③より、三角形の相似条件の、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいが使えるから、

△ADE∽△ABC

になるね。

 

中点連結定理 証明

 

 

これで相似の証明はできた!

 

 

Step2. 相似比を求める

三角形の相似比を求めてみよう。

 

①のAD:AB=1:2より、

△ADEと△ABCの相似比は1:2になるよ。

なぜなら、

ADとABは対応してる辺どうしだからね。

 

中点連結定理 証明

 

つまり、

△ADEと△ABCの対応する辺の比は全て、

1:2になるはずなんだ。

 

ってことは、残りの対応する辺の、

DEとBCの相似比も1:2になるね。

DE:BC=1:2

 

中点連結定理 証明

 

こいつを別の言い方をすると、

DE=1/2BC

ともできるよね。

 

中点連結定理 証明

 

これでDEがBCの半分になるってことはわかったね!

 

 

Step3. 平行の証明

あとは、

DEとBCが平行であること

を証明していこう。

これで中点連結定理の証明が完了するね。

 

平行の証明には、

同位角が等しいこと

をつかっていくよ。

 

△ADE∽△ABCだから、相似の図形の性質をつかうと、

対応する角はすべて等しいはずだね。

ってことは、

角ADE = 角ABC

がいえちゃうんだ。

 

中点連結定理 証明

 

こいつらは、どうみても同位角

同位角が等しいから、

同位角をつくってるDEとBCは平行

ってことがいえるんだ。

 

ってことで、

DE // BC

になるよ。

 

中点連結定理 証明

 

ここまでの3つのステップから、

DE//BC

DE=1/2BC

であることが言えるんだ。

 

中点連結定理 証明

 

おめでとう!

中点連結定理を証明できたね!!

 

 

まとめ:中点連結定理の証明はステップ踏めばOK

ここまでで、中点連結定理は証明できたね??

 

べつに証明はできなくてもいいけど、

なぜ、中点連結定理がつかえるのか??

ということは、ふんわりでもいいから頭の片隅においておいてね。

 

じゃ、またね!

ぺーたー


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