円周角の定理の証明ってどうやるの？？
Dr.リードだよっ。
円周角の定理の使い方にも慣れてきたかな？
今日はな、
円周角の定理の証明
を解説していくぞ。
つまり、
なぜ、円周角の定理が使えるのか？？
ってことを暴いていくわけだ。
別に知らなくてもいいけど、知っておいた方がスッキリするだろ？
今日は長い長い話になる。
ピザでも食べながら行ってみよう！
円周角の定理の証明の3パターン
「円周角の定理」を証明していくぞ。
3点A・B・Pがある円Oを想像してくれよな。
円周角と中心角の位置関係はつぎの3通りある。
- 点 PがOB上にあるとき
- 中心Oが∠APBの内側にあるとき
- 中心 Oが∠APBの外側にあるとき
それぞれの場合を証明していけばいいんだ。
証明パターン1. 「 点PがOB上にあるとき」
まずは点P がOBの延長上にきてる場合ね。
このパターンでは、
をうまく使っていくよ。
えっ。三角形の外角の定理なんて忘れた？！
三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい
っていう定理だったね。
こいつをうまく使って証明してみよう。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OAよって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)三角形の外角の定理より、
∠AOB = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APB = 1/2∠AOB
「二等辺三角形の性質」と「外角の定理」を知ってれば証明できるね！
証明パターン2. 「中心Oが∠APBの内部にある」
さあ、サクサク行くぞ。
つぎは、
中心Ｏが円周角の内部におさまってる形だ。
補助線を緑で引いていくぞ。
点Ｐと中心Ｏを結び延長して、交点をQとしよう。
中心を通るから、ＰＱは円Ｏの直径ってことになるね。
上の図みたいに補助線を中心に2つの図形に分けてみて。
- 左の図
- 右の図
- 合体したやつ
の順番で証明していくよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
で，右半分の図と左半分の図を元通りに重ね合わせると，
(3)+(6)より、
∠APQ +∠BPQ= 1/2∠AOQ + 1/2∠BOQ
よって、
∠APB = 1/2∠ AOB
よって、
円周角∠APBは中心角∠AOBの半分である。
証明パターン3. 「中心Oが∠APBの外部にある」
最後は、
中心Oが∠APBの外にあるパターンね。
またまた補助線引くよ。
OPを延長した線分と円周の交点をQとするぞ。
ややこしいから、目を皿のようにして見とけよ！
同じように図形を分解して、見やすくしてみるね。
重なりをバラバラにして、
左と右でそれぞれ分けて考えてみるよ。
OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OA
よって、△OPAはOP = OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OAP = ∠OPA ・・・ (1)
三角形の外角の定理より、
∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA・・・(2)
(1)、(2)より、
∠APQ = 1/2∠AOQ・・・(3)
OP・OBはそれぞれ円Oの半径だから、
OP = OB
よって、△OPBはOP = OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、
∠OBP = ∠OPB ・・・ (4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB・・・(5)
(4)、(5)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)
(3)・(6)より、
∠BPQ -∠APQ = 1/2∠BOQ – 1/2∠AOQ
よって、
∠APB = 1/2∠AOB
よって、
円周角∠APB は∠AOBの半分である。
円周角の定理の証明は3パターンで楽勝！！
円周角の定理の証明はどうだったかな？？
つぎの3パターンの証明ができればよかったよね？
- 点 PがOB上にあるとき
- 中心Oが∠APBの内側にあるとき
- 中心 Oが∠APBの外側にあるとき
３パターンとも証明しちゃったんだから使いホーダイ。
円周角の定理を心気なくガシガシ使っていこう。
じゃあな。
Dr.リード
公立中学校理科数学講師、進学塾数学講師、自宅塾 高校数学英語化学生物指導、国立大学医学部技官という経歴を持つスーパー講師。よろしくな！
円周角の長さの求め方
円の性質で円の接線の書き方がわからない
>円の性質で円の接線の書き方がわからない
円の接線の書き方を読んでみて！
> 中心Oが∠APBの外にあるパターンね の
２つをじわ～と重ねるとの図で
△ＯＰＢが二等辺三角形なので
∠ＯＰＢを青点赤点とするのでしたら
∠ＯＢＰも赤点だけでなく、青点赤点にするべきかと・・・
また
∠ＱＯＢが赤丸２つになっているようですが
赤丸２つに対応する角は ∠ＡＯＢかと
せっかく良いものを作っていただいているのに
理解するのに時間がかかってしまいました
後人のためお直しいただけると良いかと思います。
証明パターン２の
「(3)、(4)より、
∠APB = 1/2∠BOQ・・・(6)」
のところ、(３)、(４)よりではなくて(４)、(５)よりではないでしょうか。
証明パターン３の
「(3)、(4)より、
∠BPQ = 1/2∠BOQ・・・(6)」
のところもです。
私の理解が及んでいないだけかもしれません。
気になっているので早めの返信をいただけると幸いです。
ありがとう、修正しておきました！