3分でわかる!円周角の定理とはなんだろう??

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円周角の定理とはなんだろう?!?

やあ、ぺーたーだよ。

 

中3数学もいよいよ大詰め。

いよいよ、

円の性質っていう単元

を勉強していくよ。

 

今日は、この単元でいちばん大事な、

円周角の定理とはなにか??

をまとめてみたんだ。

計算や証明で使ったりするから、しっかりおさえてあげてね。

 

 

= もくじ =

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  1. 円周角・中心角とは??
  2. 円周角の定理とは??
  3. 円周角の定理をつかった練習問題

 

 

円周角・中心角とはなにもの??

円周角の定理を理解するためにはまず、

  • 円周角
  • 中心角

の2つの意味を知らないとね。

まず円周角からだ。

 

 

円周角とは?

円周角とはなんだろう??

Wikipediaをみてみると、

ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。

ってかいてある。

 

これはちょっとむずかしいw

正直、ユークリッドとかわけわからんよね。

 

円周角をもうちょっと簡単にいってあげると、

「円周上の1点」と、

 

円周角とは

 

そいつと被らない円周上の2つの点を、

 

円周角とは

 

線分でむすんだときに、

 

円周角とは

 

できる角度のことを、

円周角(えんしゅうかく)

とよんでいるんだ。

 

円周角とは

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たとえば、つぎの円Oがあったとしよう。

円周上の点をA・B・Pとするよ。

 

円周角とは

 

このとき、

∠APBを弧ABに対する円周角

っていうんだ。

 

円周角とは

 

こんなかんじで、円周角には、

弧○○の円周角

というかんじで、どこかの弧に属してるってわけ。

 

 

中心角とは??

つぎは中心角。

中心角を数学用語集でしらべてみると、

弧の両端を通る2つの半径の作る角

らしいね。

これはわかりやすい。

 

「円の弧」の、

 

円周角とは

 

「両端を通る2つの半径」が、

 

円周角とは

 

つくる角を、

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中心角(ちゅうしんかく)

というんだ。

 

円周角とは

 

たとえば、下の円Oだったら、

∠AOBが弧ABに対する「中心角」

ってわけね。

 

円周角とは

 

中心角も円周角とおなじように、

弧○○っていうかんじでどこかの弧に属しているよ。

 

円周角と中心角の違いはOKかな?

この2つの違いはしっかり理解しておいてね!

 

 

円周角の定理とはなにもの??

円周角の定理は、

円周角の決まりみたいなもんだ。

大切だからきっちり覚えてね!

円周角の定理は2つの性質があるよ。

  1. 1つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である。
  2. 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

 

つまり、

  • 同じ弧に対する「円周角」と「中心角」の関係
  • 同じ弧に対する「円周角」と「円周角」の関係

の2つの円周角の定理があるんだ。

 

円周角の定理とは

 

どっちも、

「同じ弧に対する」

っていう条件が含まれてることに注意ね。

 

 

定理1. 「円周角は中心角の半分」

まずは、円周角と中心角の性質からだね。

 

1つの弧に対する円周角の大きさは、

その弧に対する中心角の半分である

っていう定理なんだ。

 

円周角の定理とは

 

たとえば、つぎのような円Oがあったとしよう。

このとき、円周角APBは中心角AOBの半分になるんだ。

 

円周角の定理とは

 

 

式であらわしてやると、

角APB = ½ 角AOB

になるね。

 

 

円周角の定理とは

 

これが、円周角の定理のうち、

同じ弧に対する円周角と中心角の関係ってやつね。

 

だから、もし、円周角APBが「50°」だとしたら、

中心角AOBは「100°」になるってわけだね。

 

円周角の定理とは

 

 

 

定理2. 「同じ弧に対する円周角は等しい」

つぎは、円周角の性質だね。

 

なんと、同じ弧の円周角ならすべて等しいんだ。

 

円周角の定理とは

 

この定理でも、

“同じ弧に対する”

っていう点に注意してね。

 

たとえば、下の円Oをみてみて。

 

円周角の定理とは

 

もし、弧ABに対する円周角APBが「50°」だとしたら、

∠AQB = 50°

になるはずなんだ。

 

円周角の定理とは

 

なぜなら、

両方とも弧 ABの円周角だからね。

 

 

実践問題でなれよう!円周角の定理

円周角の定理がどんなものかわかったかな?

最後に円周角の定理を使った例題を解いてみよう。

次の図の∠xの大きさを求めてみて。

 

 

練習問題1.

円周角の定理とは

 

こいつはそんなに難しくないかもね!

1つの弧に対する円周角の大きさは等しいから、

∠APB =  ∠AQB

になるんだ。

だから∠x=36°だね!

 

 

練習問題2.

円周角の定理とは

 

この問題は解けそうかな?

弧ABの円周角がx、∠AOBが弧ABの中心角

っていうことを見抜けると答えが出るよ。

 

そうすると円周角の定理の、

1つの弧に対する円周角の大きさは

その弧に対する中心角の半分である

をあてはめてやって、

 

∠x=104÷2

=52

 

ってことで、

答えは52°だね!

 

 

まとめ:円周角の定理はしっかり覚えよう!

どうだったかな?

円周角の定理がどんなものか

理解できたかな?

どこが円周角で、どこが中心角なのか

ぱっぱと頭の中で分かるようになるのがカギだね。

円周角の定理を使った問題をくりかえしやってみてね。

最初にも言ったけど、証明問題でも活躍するから覚えといてね!

円周角の定理をつかった証明問題

 

じゃあ、お疲れ!またね!

ぺーたー


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