円周角の定理をつかった証明問題がわかる3ステップ

円周角の定理をつかった証明問題ってどう解くの？？

こんにちは！ぺーたーだよ。

円周角の定理とか円周角の定理の逆とか

もう慣れてきたかな？

円周角の定理って角度を求めるときにも使うんだけど、

相似を証明するときにも使えるんだ。

たとえば、つぎみたいな証明問題ね。

練習問題

下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、

ACとBDの交点をPとする。

このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。

今日は、この問題を解説するよ。

証明に必要なことを復習しながら説明するから、

頑張ってついてきてね！

円周角の定理の証明の解き方がわかる3ステップ

円周角の定理の証明問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。

1. 円周角の定理をつかう
2. 相似条件をつかう
3. 証明を書く

さっきの練習問題をといていこう。

練習問題

下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、

ACとBDの交点をPとする。

このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。

Step1. 円周角の定理をつかう

証明問題に入る前に、

円周角の定理ってなんだったか、しっかり思い出しとこう！

円周角の定理は2つの性質があったね！

1つの弧に対する円周角の大きさは、

その弧に対する中心角の半分ってやつと、

同じ弧に対する円周角の大きさは等しいってやつだね。

くわしくは「円周角の定理」の記事を復習してみてね。

まず、さっき思い出した円周角の定理を使って、

等しい角がないか確かめてみよう。

弧BCの円周角がどこになるかわかるかな？

そう。

∠BACと∠BDCだね！

1つの弧に対する円周角は等しいんだから、

この2つの角は等しいってことになるね！

∠BAC=∠BDC…①

もう1つの角も円周角が使えるよ。

今度は弧ADで見てみようか。

さっきと同じように円周角を見つけてよう。

そうすると2つの円周角が見つかるね！

ってことは角の大きさは一緒だね！

∠ABD=∠ACD…②

Step2. 相似条件をつかう

つぎは相似条件で三角形の相似を証明しよう。

相似条件は、

• 2つの角がそれぞれ等しい
• 3辺の比がそれぞれ等しい
• 2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

だったね？？

円周角の定理の証明では、十中八九、

2組の角がそれぞれ等しい

をつかうかな。

なぜなら、円周角の定理では辺の比が等しいことは証明しにくいからね。

角度が等しいことなら得意分野なんだ。

だから、まずは、

2組の角が等しいことがいえるかどうかを疑ってみよう。

練習問題をみてみて。

Step1で円周角の定理をつかったら、

• ∠BAC=∠BDC…①
• ∠ABD=∠ACD…②

がわかったよね？？

ってことは、

△ABPと△DCPにおいて、

2組の角が等しいことがいえるね。

よって、これは相似条件をみたしてるから、

△ABP∽△DCP

がいえるってわけね。

これで証明のゴールにたどり着けたね！

Step3. 証明をかく

証明のゴールまでの見通しができたら、

あとは証明をかくだけ。

相似の証明の書き方を参考にしてね。

Step2までのながれをかいてみるとこうなるね↓↓

△ABPと△DCPについて、

円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、

∠BAC=∠BDC…①

∠ABD=∠ACD…②

①、②より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABP∽△DCP

ってかんじかな！

まとめ：円周角の定理を使って等しい角を見つけ出そう

円周角の定理をつかった証明問題はどうだった？？

基本的な解き方としては、

円周角の定理をつかって、

相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」の方向に持ち込む・・・

というのが基本かな。

今回紹介した証明問題は、基本的なものあったけど、

応用問題でも構造はいっしょ。

円周角については問題をたくさん解いて、

「こことここは円周角の定理で等しいな」

って見つけられるのが一番かな！

今日はこれでおしまい！

またね！

ぺーたー

ぺーたー

静岡県の塾講師で、数学を普段教えている。塾の講師を続けていく中で、数学の面白さに目覚める