円周角の定理をつかった証明問題がわかる3ステップ

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円周角の定理をつかった証明問題ってどう解くの??

こんにちは!ぺーたーだよ。

 

円周角の定理とか円周角の定理の逆とか

もう慣れてきたかな?

円周角の定理って角度を求めるときにも使うんだけど、

相似を証明するときにも使えるんだ。

 

たとえば、つぎみたいな証明問題ね。

 


練習問題

下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、

ACとBDの交点をPとする。

このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。

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円周角の定理 証明

 


 

今日は、この問題を解説するよ。

証明に必要なことを復習しながら説明するから、

頑張ってついてきてね!

 

 

円周角の定理の証明の解き方がわかる3ステップ

円周角の定理の証明問題はつぎの3ステップでとけちゃうよ。

  1. 円周角の定理をつかう
  2. 相似条件をつかう
  3. 証明を書く

 

さっきの練習問題をといていこう。

 


練習問題

下の図のように、円周上に4点A,B,C,Dがあり、

ACとBDの交点をPとする。

このとき△ABP∽△DCPになることを証明せよ。

 

円周角の定理 証明

 

 

Step1. 円周角の定理をつかう

証明問題に入る前に、

円周角の定理ってなんだったか、しっかり思い出しとこう!

 

円周角の定理は2つの性質があったね!

1つの弧に対する円周角の大きさは、

その弧に対する中心角の半分ってやつと、

 

円周角の定理とは

 

同じ弧に対する円周角の大きさは等しいってやつだね。

 

 

円周角の定理とは

くわしくは「円周角の定理」の記事を復習してみてね。

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まず、さっき思い出した円周角の定理を使って、

等しい角がないか確かめてみよう。

弧BCの円周角がどこになるかわかるかな?

 

そう。

∠BACと∠BDCだね!

 

円周角の定理 証明

 

1つの弧に対する円周角は等しいんだから、

この2つの角は等しいってことになるね!

∠BAC=∠BDC…①

 

もう1つの角も円周角が使えるよ。

今度は弧ADで見てみようか。

さっきと同じように円周角を見つけてよう。

 

円周角の定理 証明

 

そうすると2つの円周角が見つかるね!

ってことは角の大きさは一緒だね!

∠ABD=∠ACD…②

 

 

Step2. 相似条件をつかう

つぎは相似条件で三角形の相似を証明しよう。

相似条件は、

  • 2つの角がそれぞれ等しい
  • 3辺の比がそれぞれ等しい
  • 2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

だったね??

 

円周角の定理の証明では、十中八九、

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2組の角がそれぞれ等しい

をつかうかな。

なぜなら、円周角の定理では辺の比が等しいことは証明しにくいからね。

角度が等しいことなら得意分野なんだ。

 

だから、まずは、

2組の角が等しいことがいえるかどうかを疑ってみよう。

 

練習問題をみてみて。

Step1で円周角の定理をつかったら、

  • ∠BAC=∠BDC…①
  • ∠ABD=∠ACD…②

がわかったよね??

 

円周角の定理 証明

 

ってことは、

△ABPと△DCPにおいて、

2組の角が等しいことがいえるね。

よって、これは相似条件をみたしてるから、

△ABP∽△DCP

がいえるってわけね。

 

円周角の定理 証明

 

これで証明のゴールにたどり着けたね!

 

 

 

Step3. 証明をかく

証明のゴールまでの見通しができたら、

あとは証明をかくだけ。

相似の証明の書き方を参考にしてね。

 

Step2までのながれをかいてみるとこうなるね↓↓

 


△ABPと△DCPについて、

円周角の定理より、同じ弧に対する円周角は等しいので、

∠BAC=∠BDC…①

∠ABD=∠ACD…②

①、②より、

2組の角がそれぞれ等しいので、

△ABP∽△DCP


 

ってかんじかな!

 

 

 

まとめ:円周角の定理を使って等しい角を見つけ出そう

円周角の定理をつかった証明問題はどうだった??

基本的な解き方としては、

円周角の定理をつかって、

相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」の方向に持ち込む・・・

というのが基本かな。

 

今回紹介した証明問題は、基本的なものあったけど、

応用問題でも構造はいっしょ。

円周角については問題をたくさん解いて、

「こことここは円周角の定理で等しいな」

って見つけられるのが一番かな!

今日はこれでおしまい!

またね!

ぺーたー

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