【中学数学】円錐の「母線の長さ」がわかる2つの求め方

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円錐の母線の長さの求め方がわからない!

こんにちは、この記事をかいているKenだよ。肌の手入れは大事だね。

 

母線の意味ってなんだっけ??

母線はキミの母ちゃんとはまったく別の話。立体図形の勉強ででてくる1つの数学用語なんだ。

母線の長さ 求め方

今日はテストで狙われやすい、

円錐の母線の長さの求め方を3つ紹介するね。よかったら参考にしてみてね^^

 

~もくじ~

  1. 母線とは??
  2. 円錐の母線の長さの求め方

 

 

 母線とはいったい何者なのか??

まず「母線の意味」をおさらいしてみよう。

母線とは、

動くと、立体がかける線分のこと

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だ。たとえば、むかーしむかし、線分ABというヤツがいたとしよう。

母線の長さ 求め方

こいつを放っておいたらただの線分でしかないよね。だけど、コイツを円周上に回転させて移動させると、

母線の長さ 求め方 円錐

円柱ができちゃうんだ!!

母線の長さ 求め方

線分ABは円柱を産んだわけだ。つまり、円柱のちゃんになった分とも呼べるね。

だから、こいつは母線とよばれているよ^^

母線の長さ 求め方

円錐の場合、線分ABのAを固定して、Bを円に沿って移動させればいいんだ。

母線の長さ 求め方

だから、円錐の母線はつぎの線分ABになるってことだね。

そんで、

「円錐の母線の長さ」を求める問題はだいたい2つのパターンにわかれるよ^^

  1. 「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっている場合
  2. 「円錐の半径」と「円錐の高さ」がわかっている場合

せっかくだから、2つの「母線の求め方」をみていこう。

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「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの求め方

「円錐の半径」と「側面の中心角」がわかっているときの「母線の求め方」をみていこう。

つぎの例題をときながら解説していくよ。

 

つぎの2ステップでとけちゃうんだ!

 

 

Step1. 底面の「円周の長さ」を求めるっ!

底面の「円周の長さ」を計算しちゃおう。

円周の長さの求め方は「直径×円周率」だったよね??

円錐 母線 

だから、例題では10π[cm]になるね!

 

 

Step2. 母線に関する方程式をたてる!

つぎは「母線の長さ」をxとして方程式をたててみよう。

ここで思い出してほしいのは「扇形の中心角の求め方」。

 

母線をx[cm]としてやると、

2πx × 150/360 = 10π

っていう方程式がたてられるんだ。

 

 

なぜなら、「側面の弧の長さ」は「底面の円周の長さ」に等しいからね。

こいつを解いてやると、

x = 12[cm]

って答えがゲットできるね!やった^^

 

 

円錐の「半径」と「高さ」がわかっているときの求め方

つぎは、円錐の「半径」と「高さ」がわかっている問題をみていこう。

たとえば、つぎの例題のような感じ。

 

 

ここでは、中3数学で勉強する「三平方の定理」をガンガン使っていくよ。これは中1数学の範囲ではないよ^^

つぎの3ステップで母線の長さを求めることができるんだ!

 

 

Step1. 円錐を真っ二つに切るっ!

円錐をそこらへんの日本刀で真っ二つに切ってみよう。

頂点で二等分されるように切ってみてね^^

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円錐 母線の長さ 求め方

 

 

Step2. 円錐の断面図に注目する!

つぎに円錐を切ったあとの断面図に注目してみよう。円錐を頂点で2つに切ってやると、断面は三角形になるはず!

円錐 母線の長さ 求め方

例でいうと、三角形ABCが断面になっているでしょ?? これでいいんだ!

 

Step3. 「三平方の定理」で母線の長さを求める!

つぎに、「母線」、「底面の半径」、「円錐の高さ」をふくむ直角三角形をさがそう。例でいうと、

円錐 母線の長さ 求め方

三角形ABOだね。斜辺以外の辺の長さはわかっているよね??(半径5cm、高さ10cmより)

あとは「三平方の定理」をつかって斜辺の長さを計算してやればいいんだ。

 

例題で言うと、

母線ABの長さは5√5になるね。

円錐 母線の長さ 求め方

 

つまり、母線をふくむ直角三角形をさがして、三平方の定理をつかって計算すればいいってことだね!

おめでとう、これで母線の長さを求められたね^_^

 

 

まとめ:円錐の母線の長さの求め方はだいたい2つしかない!

この2つのパターン以外にも、

  • 円錐の「半径」と「表面積」が与えられた場合
  • 円錐の「底面の円周の長さ」と「側面の中心角」が与えられた場合

とかとか色々ある。正直、ちょっと混乱しちゃうよね??

 

だけれども、どいつもこいつも結局、さっきの2つの求め方にいきつくんだ。

  1. 「円錐の展開図」から母線の長さを求める方法
  2. 「円錐の高さ」から母線の長さを求める方法

複雑な問題がだされたら、まずはその問題がどっちのタイプなのか考えてみよう!

どっちかわかったら、紹介した求め方でゆっくり解いてみてね^^

 

そんじゃねー

Ken

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27 個の質問と回答

  • 底面の半径が5センチって事しかわかんない場合どうしたらええの?

  • >半径が4センチしかわからない時はどうすればいいですか?
    他に何かわかってることないかな?

  • すいません…馬鹿な質問かと思いますが、2π・150/360の・ってどんな意味なんでしょうか?そこで混乱してしまって…

  • >2π・150/360の・ってどんな意味なんでしょうか?

    2πx・150/360だね!
    半径をxcmとしているから、2xで直径になる。
    で、直径に円周率をかけると円周の長さになる。
    で、それに150/360をかけると中心角が150度の扇型の弧の長さになるね!
    詳しくは「扇型の弧の長さの求め方」を読んでみて

  • 円周率の求め方を微分積分を使って教えてください

    注高校性のとき先生が微分積分の時間に、この計算をすればπが出るのだと いわれたのですが
    その式の算出を忘れたたため

  • 半径が5cmということしか分かってないのですがどうすればいいですか
    他にわかってることないです

  • 底面の半径が5センチってことしかわかってない場合はどうすればいいんですか?

  • 2ぱいx×360/150の解き方が方程式のサイトを見ても分かりません
    教えてください

  • 底面の半径が3センチの円錐を頂点Oを中心としてすべらないように転がしたとき元の場所に戻るまで5回転しました。
    (1 この円錐の母線の長さを求めなさい。
    (2 この円錐の側面積を求めなさい。
    という問題なんですが、まったく意味がわからないので教えてもらえますか????

  • >2ぱいx×360/150の解き方が方程式のサイトを見ても分かりません

    まずパイで両辺を割ってパイを消そう。
    あとは左辺の分数360/150がでかすぎるから約分して簡単にしてみよう

  • 半径6cmの円錐を、頂点Oを中心として平面上で転がしたら、円Oのうえを1周してもとの場所に戻るまで円錐は2回半だけ回転した時、円錐の母線の長さはどうやって求めるんでしょうか?

  • >底面の半径が3センチの円錐を頂点Oを中心としてすべらないように転がしたとき元の場所に戻るまで5回転しました。
    (1 この円錐の母線の長さを求めなさい。
    (2 この円錐の側面積を求めなさい。
    という問題なんですが、まったく意味がわからないので教えてもらえますか????

    まず図を書いて状況を整理してみよう!
    5回転下ということは、底面の円周5回転分が、母線が描く円周長さになるね。母線の長さをrとして方程式を作ってみよう

  • >半径6cmの円錐を、頂点Oを中心として平面上で転がしたら、円Oのうえを1周してもとの場所に戻るまで円錐は2回半だけ回転した時、円錐の母線の長さはどうやって求めるんでしょうか?

    二回転半したということは、底面の円周の2.5倍の長さと、母線の長さを半径とする円の円周長さが等しいということだ。こいつを方程式にしてみよう

  • この問題が解けません。
    半径3cmの円錐を円錐の頂点を固定して転がしたところ、ちょうど三回転して元の位置に戻った。この円錐の表面積を求めよ。
    という問題です。解くにはどうしたらいいですか?

  • >半径3cmの円錐を円錐の頂点を固定して転がしたところ、ちょうど三回転して元の位置に戻った。この円錐の表面積を求めよ。

    まずこの状況を図にしてみるといいよ。
    三回転して元に戻ったってことは、母線を半径とした円の周りの長さが底面の円周長さの3倍に等しいってことだ!

  • >2πrの2ってどこから来てるんですか?

    rは半径。こいつを2倍すると直径になるからね!

  • 母線と半径は分かるけど扇形の中心角が解らない時の
    対処方を教えてください‼

  • >母線と半径は分かるけど扇形の中心角が解らない時の
    対処方を教えてください‼

    中心角をxとして、
    底面の円周長さと、側面の扇型の弧の長さが等しい
    という方程式を作ろう

  • 底面の半径2㎝と表面積40πがわかっている時の円錐の高さの求め方

  • >底面の半径2㎝と表面積40πがわかっている時の円錐の高さの求め方

    この2つの情報から母線の長さを求めてみよう。
    あとは円錐の高さは三平方の定理を使えばいいよ〜

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