【中3数学】因数分解の利用ででてくる2つの問題

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因数分解の利用の問題ってどんなやつ??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。砂糖、最高。

 

因数分解の解き方はわかった。

公式もおぼえたし、たすき掛けもマスターした。

もう、怖いものなしだね!

あと、この基本にくわえておぼえておきたいのが、

因数分解の利用の解き方

だ。

 

因数分解の利用ってなに??

って思うかもね。

ようは、

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整数の計算でも因数分解や展開の公式をつかっちゃおう

っていう問題なんだ。

 

この解き方をマスターすると、

ムズい計算問題を簡単にとけちゃうんだよ。

この問題にはつぎの2種類あるよ。

  1. 和と差の公式で因数分解する問題
  2. 展開の公式で計算を簡単にする問題

それぞれ解き方をみていこう!

 

 

因数分解の利用1. 「和と差の公式」をつかう問題

まず一つ目は、

因数分解の「和と差の公式」をつかう問題だ。

 

たとえば、つぎのような問題だね。

 

例題1

因数分解を利用して、つぎの計算をしてみてください。

39^2 – 31^2

因数分解の利用

 

3ステップでとけちゃうよ。

  1. 因数分解する
  2. 足し算・引き算をする
  3. かけ算する

 

 

Step1. 因数分解する

まずは、計算式を因数分解しよう。

 

 

因数分解の利用でつかう公式は、十中八九、

和と差の公式

だ。

a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)

ってやつだね。

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因数分解の公式はここから復習しよう!

 

因数分解 公式 覚え方

 

 

例題でもこの公式をつかってみよう。

39^2 – 31^2

では、aにあたるのが「39」、bにあたるのが「31」だね。

よって、

39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)

になるはず!!

 

平方根 求め方 簡単

 

 

Step2. 足し算・引き算をする

因数分解してみたね??

今度は、()の中を計算しちゃおう!!

 

例題の()のなかには、

  • 39 + 31
  • 39 – 31

の2つの計算式がはいってるね。

 

こいつらを計算してやると、

  • 39  + 31 = 70
  • 39 – 31 = 8

になるね!

 

因数分解の利用

 

 

Step3. かけ算する!

最後はかけ算しちゃおう。

最初の計算式よりもクソシンプルになったね。

 

例題でいうと、

39^2 – 31^2
= (39+31) (39-31)
=70×8
= 560

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になるね!

 

因数分解の利用

 

これで因数分解の利用完了だ。

むちゃ簡単になったね!^^

 

 

因数分解の利用2. 「展開の公式」を利用する問題

つぎは展開の公式をつかうパターンだ。

展開の公式を利用する問題では、

  • (a+b)(a-b) = a^2 – b^2
  • (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

の2つをつかうのがほとんど。

 

因数分解の利用

 

展開の公式を忘れちゃったら復習してみよう!

 

つぎの例題をいっしょにといていくよ。

 

例題2

展開を利用してつぎの計算をしなさい。

(1)  29^2   (2) 99 × 101

 

因数分解の利用

 

こいつは3ステップでとけちゃうよ。

 

 

Step1. きりのいい数字で表す

計算式をきりのよい数字であらわしてみよう。

えっ。

「きりのいい」とかよくわからないって?!?

たしかにね。

 

そうだな、たとえば、

99だったら100、 19だったら20ってかんじで、

1の位が0になるような数であらわせばいいんだ。

 

例題では、

  • 29
  • 99
  • 101

っていう中途半端な数字がでてきてるね??

こいつらの1の位が0の数字であらわすと、

  • 29 → (30-1)
  • 99 → (100-1)
  • 101 → (100+1)

になるはずだ。

 

因数分解の利用

 

これで計算式を書き直すと、

  • 29^2 = (30-1)^2
  • 99×101 = (100-1)(100+1)

になるね!

 

因数分解の利用

 

 

Step2. 公式で展開する!

つぎは展開公式をつかってみよう。

 

まず例題の1番に注目してみて。

こいつに平方の公式をつかってみよう。

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

 

展開の公式で、

29^2 = (30-1)^2

を展開してやると、

29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2

になるね。

 

因数分解の利用

 

おつぎは2番目をみてみよう。

こいつは和と差の公式で展開できそうだね。

さっそく展開してみると、

99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2

になるはずだ。

 

kori11

 

Step3. 計算がんばる

最後は力技。

公式で簡単にした計算をしてみよう。

 

まず例題の1からだ。

Step2までで、

29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2

ってなってたね。

 

因数分解の利用

 

こいつを最後まで計算してやると、

29^2
= (30-1)^2
= 30^2 -2×30 +(-1)^2
= 900 – 60 +1
= 841

になるね!

 

因数分解の利用

 

暗算でも計算できちゃう^^

 

つづいて例題の(2)だ。

こいつも最後まで計算すると、

99 × 101
= (100-1) (100+1)
= 100^2 -1^2
= 10000-1
= 9999

になるね!

 

因数分解の利用

 

この計算もクソ楽になってる。

展開の公式サイコーだぜ。

 

 

まとめ:因数分解の利用でひねくれた計算が楽になる!

因数分解の利用とか、正直、だるい。

だけどね、

公式をつかうとすごく便利なんだ。

電卓やそろばんを使わなくてもいいからね。

慣れるまで大変だけど、どんどんチャレンジしていこう!

そんじゃねー

Ken

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