円錐にかけたひもの最短距離を求める3ステップ

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円錐にかけたひもの最短距離を知りたい??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。バターチキン最高。

 

円錐にひもをかける問題ってあるよね???

たとえば、つぎのような問題だ。

 

例題

母線の長さ PA = 6 cm、底面の半径OAの長さ = 1 cmの円錐Pがある。この円錐に赤いひもが最短距離になるようにかけたとき、この「ひも」の長さを求めてください。

円錐 最短距離

 

なんで円錐にひも???

って思うかもしれないね。

正直、とくのがつらい。

 

だけど、

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円錐にかけたひもの最短距離を求める問題

ってよくでてくるんだ。

 

今日はこのタイプの問題の、

円錐にかけたひもの最短距離を求める問題の解き方

を3ステップで解説してみたよ。

よかったら参考にしてみてね。

 

 

円錐にかけたひもの最短距離を求める3ステップ

3ステップでとけちゃうよ。

  1. 展開図をかく
  2. 中心角をだす
  3. 直角三角形の比をつかう

 

例題をといていこう。

 

例題

母線の長さ PA = 6 cm、底面の半径OAの長さ = 1 cmの円錐Pがある。この円錐に赤いひもが最短距離になるようにかけたとき、この「ひも」の長さを求めてください。

円錐 最短距離

 

 

Step1. 展開図をかく

円錐の展開図をかいてみよう。

 

とりあえず、円錐の展開図っぽいやつをかこう。

中心角は気にしなくていいよ。

 

円錐 最短距離

これが第1ステップさ。

 

 

Step2. 側面の中心角をだす

つぎは側面の「扇形の中心角」をだしてみよう。

出し方は簡単。

 

中心角をxとして方程式をたてればいいんだ。

側面の扇形の弧の長さ

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底面の円周の長さ

が等しい

っていう式をつくればOK。

円錐 最短距離

 

 

例題をみてみよう。

中心角をxとしたから、

  • 扇形の弧の長さ: 2×6 ×π× X ÷ 360
  • 底面の円周長さ: 2× 1 × π

になるね。

円錐 最短距離

だから方程式は、

(扇形の弧の長さ)=(底面の円周長さ)
2×6 ×π× X ÷ 360 = 2× 1 × π

になる。

 

これをといてやると、

中心角X = 60°

になるはずだ。

entaka5

 

 

Step3. ひもをかく

つぎは展開図に「ひも」をかいてみよう。

 

例題でいうと、赤いひもは、

AからスタートしてAにもどってきているよね??

円錐 最短距離
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しかも、その長さが最短距離。

 

ってことは、展開図でいうと、

A

組み立てたらAに重なるA’

を直線でむすんでやればいいんだ。

 

円錐 最短距離

 

 

Step4. 直角三角形の比をつかう

最後は直角三角形の比をつかおう。

「ひも」と「母線」でできた三角形に注目してくれ。

 

例題でいうと、△PAA’だね。

 

円錐 最短距離

こいつは、

  • 頂角P = 60°
  • PA = PA’ = 6 cm

の二等辺三角形。

二等辺三角形の性質の、

頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する

というやつを使ってみよう。

 

PからAA’に二等分線をひく。

交点をHとすると、

  • 角AHP = 90°
  • 角APH = 30°

になるね。

円錐 最短距離

んで、

△APHは頂角30°の直角三角形だから、

1 : 2: √3

の辺の比になっているはず。

よって、

AP: AH = 2: 1
AH = 3 cm

になる。

円錐 最短距離

PHはAA’の垂直二等分線になっているはず。

よって、

ひもの長さAA’
=  2 × AH = 6 cm

になるね。

 

円錐 最短距離 

 

おめでとう!

これで、ひもでも糸でもなんでもこいだね!

 

 

 

まとめ:円錐にかけたひもの最短距離は超総合問題!

最短距離の問題って、

  • 扇形の中心角の求め方
  • 円錐の展開図の作図
  • 直角三角形の比

の知識が必要になってくる。

ってことはつまり、

1~3年生の知識をフル活用しないと解けない。

だから入試問題にでやすいのかもね。

テスト前によーく復習しておこう。

そんじゃねー

Ken

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2 件の質問

  • 円錐にかけた紐の問題では答えがほかの辺と同じ6cmでしたね
    ということは結局ほかの辺長さと同じ…という事なのでしょうか?

  • >結局ほかの辺長さと同じ…という事なのでしょうか?

    いや、そんなことないね!たまたま!

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