【式の計算の利用】図形の証明問題の解き方がわかる4ステップ

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式の計算の利用の図形の証明??

こんにちは!この記事をかいているKenだよ。にんじんはゆでたいね。

 

中3数学では、

式の計算の利用

って単元を勉強していくよ。

因数分解の公式をふつうの計算問に使ってみたり、

いろいろな証明にチャレンジしたりするんだ。

 

そんな中でも、よく質問をうけるのが、

図形の証明問題

だ。

たとえば、つぎのような証明問題だね。

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例題

タテの長さがp、横の長さがqの長方形の花壇がある。道幅をa、道のちょうど真ん中をとおる線の長さをLとする。道の面積をSとするとき、

S = aL

となることを証明しなさい。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

 

今日はこのタイプの問題を攻略するために、

式の計算の利用の図形証明問題の解き方

を4ステップで解説していくよ。

よかったら参考にしてみてね。

 

 

 

式の計算の利用の図形の証明がわかる4ステップ

4ステップでとけちゃうよ。

  1. 道幅の面積をだす
  2. 道の真ん中を通る線Lをだす
  3. 道幅の面積を因数分解
  4. 代入する

 

例題をいっしょにといてみよう!

 

例題

タテの長さがp、横の長さがqの長方形の花壇がある。道幅をa、道のちょうど真ん中をとおる線の長さをlとする。道の面積をSとするとき、

S = al

となることを証明しなさい。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

 

Step1. 道幅の面積をだす

道幅の面積Sを計算してみて。

S以外の文字で面積をあらわせばいいんだ。

 

道幅の面積は、

(「花壇+道」の面積)- (花壇の面積)

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で求められるよ。

「全体の面積」から「花壇の面積」をひいちまえばいいってわけ。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

例題でもまずは、

  • (花壇+道)の面積
  • 花壇の面積

を計算してみよう。

 

まず、(花壇+道)の面積だね。

タテ・横の長さは、

  • よこ:2a+p
  • たて:2a+q

になってる。

 

式と計算の利用

 

だから、この長方形の面積は、

 たて×よこ
= (2a+p)(2a+q)
= 4a^2 + 2a(p+q)+pq

になるんだ。

うまく乗法の公式で展開してね。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

つぎは花壇の面積。

花壇は、

  • たて: q
  • よこ: p

の長方形だね。だから、こいつの面積は、

(花壇の面積)
= たて×よこ
= pq

になるね。

 

式の計算の利用 図形の証明

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よって、道幅の面積Sは、

S = (花壇+道の面積)- (花壇の面積)
= 4a^2 + 2a(p+q)+pq – pq
= 4a^2 + 2a(p+q)

になる!

 

 

式の計算の利用

 

 

Step2. 道幅の真ん中の線の長さ(L)を求める

つぎは「道の真ん中を通ってる線」の長さだ。

 

例題では、

2×(道の真ん中のタテ+道の真ん中のよこ)

で求められるよ。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

  • 道の真ん中のたて= a+q
  • 道の真ん中のよこ= a+p

になってるから、

道の真ん中の線のぜんぶの長さLは、

L =2×(道の真ん中のタテ+道の真ん中のよこ)
= 2×(a+q+a+p)
= 2 (2a + p + q)

になるね。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

 

Step3. 道幅の面積を因数分解

道幅の面積Sを因数分解してみよう。

共通因数でくくってもいいし、

因数分解の公式をつかってもいいよ。

 

例題の道幅の面積Sは、

S = 4a^2 + 2a(p+q)

だったよね??

 

式の計算の利用

 

こいつを共通因数2aで()くくってやると、

S = 2a(2a+p+q)

になるはず。

これで因数分解は終了さ。

 

式の計算の利用 図形の証明

 

 

Step4. 代入する

「道幅の面積S」に「道の真ん中を通る線L」を代入しよう。

 

Step2で求めたLは、

L = 2 (2a + p + q)

だったよね??

じつは、この、2a+p+qに注目してほしいんだ。

これ、Sを因数分解してできた文字といっしょだね。

 

 

式と計算の利用

 

だから、もし、

Lの式を(2a + p + q)についてとければSに代入できそうだね。

 

さっそく、Lの式を(2a+p+q)についてとくと、

2a + p + q = L÷2

になるね。

 

式と計算の利用

 

これを道幅面積Sの式に代入すると、

S = 2a(2a+p+q)
= 2a × L÷2
= aL

になるね!

 

式の計算の利用 図形の証明

 

これで「S = aL」を証明できちゃったね!

 

 

 

まとめ: 式の計算の利用の図形の証明は「展開」と「因数分解」で突破!

式の計算の利用??

花壇とか道幅とかめんどそう??

だけどね、使ってるのはシンプルにこの2つなんだ。

  1. 展開の公式
  2. 因数分解の公式

基本をおさえて証明を撃破していこう!

そんじゃねー

Ken


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