なぜ相似比をつかって面積比が計算できるのか??

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なんで相似比から面積比がわかるの???

ある日、数学が苦手なかなちゃんは、

面積比の公式をにらんでいました。

 

相似比 面積比

 

かなちゃん

だああー!

何で面積比が求まるの?

意味不明!!

ゆうき先生

おっ!

相似比から面積比もわかるってやつだね。

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かなちゃん

相似比が面積比に……?

もっとわけわかんない……

ゆうき先生

よし、じゃあ今回は、

相似比と面積比のつながり

を見つけていこう!

 

 

相似比から面積比が求められる2ステップ

ゆうき先生

相似比から面積比がだせる理由は、

つぎの2ステップをふむとわかりやすいよ。

  1. 正方形で考える
  2. 三角形で考える
かなちゃん

へー!

2ステップなら楽勝じゃん!

ゆうき先生

そうそう!

いけるいける!

 

 

Step1. 「正方形の面積比を考える」

ゆうき先生

まずは、

正方形の面積比を考えてみよう。

かなちゃん

何で?

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ゆうき先生

面積比の公式をみちびきやすいからかな!

たとえば、

2つの正方形A・Bに注目してみて。

1辺の長さが3cmと5cmの正方形ね。

 

相似比 面積比

 

かなちゃん
おー

ゆうき先生

まずは、2つの正方形の面積を求めてみようか。

正方形の面積の公式をつかってね。

 

かなちゃん

正方形の面積の求め方は、

一辺を2乗するだけだよね??

小さい正方形Aの面積は9㎠で、

大きい正方形Bは25㎠かな!

ゆうき先生

いいね。

次はそこから面積比を求めてみよう!

かなちゃん

面積比は、

9:25

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だ!

 

相似比 面積比

 

ゆうき先生

ここで、登場するのが相似比

2つの正方形の相似比はいくつ??

かなちゃん

えっと・・・

相似比は1辺の長さの比をとればいいから、

3:5かな!

相似比 面積比

 

ゆうき先生

おっ。いいね。

相似比と面積比くらべると・・・??

かなちゃん

あっ。

ああああああー

相似比の2乗が面積比になってない??

相似比 面積比

 

ゆうき先生
そう!相似比がa:bなら、

面積比はa²:b²になるんだ。

相似比 面積比

 

 

Step2. 「三角形にわけて考える」

ゆうき先生

形は様々だけど、

どの図形も三角形に切り分けることが出来るんだ。

かなちゃん

なるほど!

ってことは、

今度は三角形で考えろってこと?

ゆうき先生

鋭いね!

次は三角形で考えていくよ。

相似比がa:bの三角形。

それぞれの面積を求めよう。

かなちゃん

三角形の面積の求め方は、

底辺×高さ÷2

だよね??

ay×ax÷2だから小さい方が1/2 a²xyで、

同じように計算すると、大きい方が1/2b²xy!

相似比 面積比
ゆうき先生

いいね。

ここで、2つの図形の面積を比べると……?

かなちゃん

あっ、

面積比を簡単にすると、

a²:b²になる!

 

相似比 面積比

 

ゆうき先生

で、他の図形も分けて考えれば三角形と同じだから、

相似比がa:bなら、面積比はa²:b²って関係が当てはまるんだ!

かなちゃん

そういうことか!

合点!!

 

 

まとめ:相似比を2乗すると面積比になるね!

ゆうき先生

どう?

何で相似比が分かると、

面積比を求められるのかが分かったかな?

  • 正方形で考えてみる
  • 三角形で考えてみる

の2ステップでいいんだ。

かなちゃん

計算するとそうなるっていうのはわかったけど、

公式は覚えるの嫌だしそもそも覚えられない。

ゆうき先生
そこか!

確かに、最初は慣れないし、何度も使うしかないね。

かなちゃん

なんか、いい方法ないかな……

ゆうき先生

正方形を思い出すって手もあるよ。

何がいいかは人それぞれだね。
自分にあった覚え方を見つけてみよう!

かなちゃん

ういす!

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2 件の質問

  • 平成28年度の埼玉県公立高校問題の数学で、問3の⑵が解説を見てもよくわからないので、詳しくもっとわかりやすくお願いします。

  • >平成28年度の埼玉県公立高校問題の数学で、問3の⑵

    どんな問題かな?送ってみて

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