3分でわかる!相似比から面積比の公式

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相似比から面積比を求める公式??

やあ、ぺーたーだよ。

 

中3になると、相似を勉強するよね。

覚えること多くて大変。

相似の証明したり、相似比を求めたり…ほんといろいろ。

 

中でもよくでてくるのが、

相似比から面積比を求める問題

むずかしそうにみえるけど、公式さえ分かってれば大丈夫。

面積比は絶対に求められる!

今日はこの面積比の公式を紹介していくよ〜

 

 

相似比から面積比を計算できる公式

面積比にはつぎの公式があるよ。

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「面積比」は「相似比の2乗」になる

ってやつだ。

 

たとえば、△ABCと△A’B’C’の相似比が「n:m」だとしよう。

このとき面積比は、

n² : m²

になってるんだ。

 

相似比 面積比の公式

 

 

せっかくだから、この面積比の公式をつかってみよう。

 

つぎの2つの三角形をイメージしてみて。

 

相似比 面積比の公式

 

△ABCと△A’B’C’の辺の長さがそれぞれ、

  • AB = 3
  • BC = 6
  • AC = 5

と、

  • A’B’ = 6
  • B’C’ = 12
  • A’C’ = 10

になってるよ。

この2つの三角形の面積比をだしてみよう!

 

公式なら2ステップで面積比だせちゃうんだ。

  1. 相似比を求める
  2. 面積比をだす

 

 

Step1. 相似比を求める

まず相似比を出してやろう!

 

相似比の求め方は覚えてる??

相似な図形同士の、

対応する辺の長さの比

を求めればよかったね??

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今回でいうと、辺ABに対応する辺は辺A’B’。

AB=3cm, A’B’=6cmだから、

相似比は、

AB : A’B’
= 3: 6
= 1 :2

になるね。

 

相似比 面積比の公式

 

 

Step2. 相似比から面積比をだす

相似比が出ちゃえばあとは簡単。

 

相似比を2乗すれば面積比がでるってわけ。

△ABCと△A’B’C’の相似比は、

1: 2

だったね??

 

面積比は2乗してやった比の、
1² : 2²
= 1 : 4

になるはず!

 

相似比 面積比 公式

おめでとう!

相似比から面積比を計算できちゃったね。

 

 

面積比の公式をつかった問題に挑戦!

面積比の公式でもう1つ問題を解いてみよう。

公式はつかっておぼえるのが一番!

 

 

 

問1. 「相似比を求めなさい」

まずは相似比を求めるよ。

 

この場合、対応する辺は分かるかな?

色で分けるとこうなるよ!

 

相似比 面積比の公式

 

 

この問題では、ADの長さ(16 cm)が分かっているから、

赤色の辺を使って考えてみよう。

 

ABの長さはわかるかな?

そう、そうだね。

AB
= AD + DB
= 16 + 4 = 20

になってるはず。

 

相似比 面積比の公式

 

AD=16cm、AB=20cmだから、

相似比は…

△ADE : △ABC
= 16 : 20
= 4:5

だ!

 

相似比 面積比の公式

 

 

問2. 「面積比をもとめよ!」

面積比はさっきの公式で一発!

 

面積比は相似比の2乗になる

だったよね??

この公式をあてはめると、

面積比
= 4² : 5²
= 16 : 25

になるね。

面積比の公式

 

ってことで、答えは16:25!

 

 

問3. 「△ABC = 50cm² のとき、△ADEの面積もとめて」

最後は△ADEの面積だ。

 

相似比 面積比 公式

 

さっきの面積比で求めていくよ。

 

△ADEの面積がわからないから、x[ cm²] とでもしておこう。

んで、

△ADEの面積:△ABCの面積 = 面積比

っていう比例式をつくってみようぜ。

 

  • 面積比が16:25
  • △ADE=x [cm²]
  • △ABC=50 [cm²]

だから、比例式は、

△ADEの面積:△ABCの面積 = 16 : 25

x : 50 = 16 : 25

になるね。

相似比 面積比の公式

 

比例式の解き方でといてやると、

x : 50 = 16 : 25

25 x = 16×50

x = 32 [cm²]

になる。

 

相似比 面積比の公式

 

つまり、

△ADEの面積は32 [cm²]ってわけ!

 

 

まとめ:相似比で面積比の公式をつかえば一発!

相似比で面積比もとめられた??

相似比の2乗が面積比になる

っていう公式さえおぼえてれば怖くない。

面積比を求める問題はきっと大丈夫!

じゃ、またね!

ぺーたー

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12 件の質問

  • 台形の対角線が2:5で交わっているときの台形と、中に出来る三角形の比
    はどうやって求めますか?

  • >台形の対角線が2:5で交わっているときの台形と、中に出来る三角形の比
    はどうやって求めますか?

    まずは対角線でできた三角形は台形を2等分しているよね?
    あとは、その二等分でできた三角形がさらに、2:5の面積比になってることを使おう

  • >三角形の面積比で何倍になっているかを求めるには?

    対応する辺の比を求めよう!
    面積はその二乗だ

  • >相似比と面積比、体積比
    は違うものですか?

    違うね!
    相似比は相似な図形同士で対応する辺の長さの比。
    面積比は面積の比で、体積比は体積の比だ

  • gc:AC=3:4より
    三角形ACD=3分の4gcd
    みたいなものがわかりにくいです(T ^ T)

    なんで掛け算…?

  • >gc:AC=3:4より
    三角形ACD=3分の4gcd
    みたいなものがわかりにくいです(T ^ T)

    これは頂点を共有してる三角形の話かな?
    その場合、底辺の長さの比が面積比になるぜ

  • 説明が下手なので分からないかもしれないですが、ワークだとそうゆう感じの問題がでていて、X:50ってなってると思いますが、
    他のやつだと例えば、 〇:X=〇:〇
    ってなったりしてて、Xを1番前におけばいいのか、2番目におけばいいのかわかりません。一番前に置くと間違ってたりするときがあります。そうゆう時はどうすればいいですか?

  • >説明が下手なので分からないかもしれないですが、ワークだとそうゆう感じの問題がでていて、X:50ってなってると思いますが、
    他のやつだと例えば、 〇:X=〇:〇
    ってなったりしてて、Xを1番前におけばいいのか、2番目におけばいいのかわかりません。一番前に置くと間違ってたりするときがあります。そうゆう時はどうすればいいですか?

    比の値の順番は、それが対応するように並べればいいよ。
    たとえば、aとbを比べた時にbがaの2倍になるときは、aが1だとするとbが2になるはずだから、
    a:b=1:2
    になるはずだね。aは:の左に置いてるから1も左だ!

  • 相似ではない三角形の辺の比が
    1:2.5:1と2:2:3のときの面積比は
    どうやって求めますか?

  • >相似ではない三角形の辺の比が
    1:2.5:1と2:2:3のときの面積比は
    どうやって求めますか?

    相似ではない図形同士の面積比は、実際に面積を計算して比にするしかないね

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